《数学分析》科目大纲
(科目代码：620)
一、考核要求
数学分析是数学与应用数学专业的专业基础核心课程，是学生学习分析学系列课程及数学专业其它后继课程的重要基础，也为高观点下深入理解中学数学教学内容所必需。数学分析的主要内容有：极限理论、微分学、积分学及级数理论。数学分析中的极限思想十分重要，它几乎贯穿了数学分析及其它与分析相关的自然学科的始终。数学分析课程的考核，以其基本理论和方法为主，考核学生对从特殊到一般，从具体到抽象的思想方法的掌握情况，考核学生对基础知识的掌握情况，考核学生是否具有严密的
逻辑推理能力，考核学生应用所学知识解决某些实际问题的能力。
二、考核评价目标
数学分析重点考核学生对基础理论知识掌握的情况以及分析解决实际问题的能力。通过考核，选拔出具有较好的数学功底的学生来攻读数学学科的硕士研究生。考核评价目标应使录取的研究生具有较扎实与系统的从事基础数学、应用数学以及计算数学等的进一步学习及科研工作所需的数学分析知识。
三、考核内容
第一章 极限
第一节 实数集与函数
考核不等式、集合、映射、函数、初等函数、领域、上确界、下确界的定义，会进行集合运算和函数的各种表示，能分析函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性，熟悉确界原理。
第二节 数列极限
考核数列、数列极限的定义、无穷小数列，收敛数列的性质，数列极限的四则运算，单调数列及单调有界定理，Cauchy列及收敛准则。
第三节 函数极限
考核函数极限的定义、性质、四则运算、与数列极限的关系，单侧极限、Cauchy收敛原理，两个重要极限，无穷小量与无穷大量及关系。
第四节 连续函数
充分理解并掌握函数极限的定义、连续的定义、函数极限与数列极限的关系、Cauchy收敛原理、一致连续的概念;能应用函数极限、连续以及一致连续的定义进行分析、论证，能用无穷小量对极限进行分析，区别无穷小量能否进行代换的条件，区分不连续点的类型。
第五节 实数基本定理
能综合应用确界原理，单调有界定理，区间套定理进行分析论证，应用收敛子列定理和Cauchy收敛定理进行基本证明。
第二章 一元函数微分学
第一节 导数和微分
会应用导数的定义、四则运算法则、反函数的求导法则和复合函数求导法则求导数和高阶导数，能综合应用各种方法求函数的导数。
第二节 微分中值定理及应用
领会微分中值定理、Taylor公式的深刻含义，能用微分中值定理进行分析、论证，能将函数展开成Taylor多项式和其余项之和，能综合使用
Hospital法则及Taylor公式求函数及数列的极限。能综合应用函数的凸性、单调性(利用导数)及中值定理分析和解决问题。
第三章 一元函数积分学
第一节 积分的计算、性质及应用
能综合应用各种方法(包括定义、基本公式、线性性质、换元积分法、分部积分法)，计算出一般函数的积分;重点掌握定积分的概念，Darboux和概念等;熟练掌握可积的充要条件，可积函数类，定积分的性质，微积分基本定理，掌握求面积、弧长、体积和侧面积的方法，了解微元法及其应用。
第二节 反常积分
掌握反常积分敛散性的定义，奇点，了解Cauchy主值和反常积分收敛的关系，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分，熟练应用积分第二中值定理。
