泛函分析 考试大纲
(科目代码：781)
第一章 度量空间与线性赋范空间
考试要点：
度量空间的概念，例子;度量空间中的收敛性与连续性;稠密性;可分性;Cauchy列与度量空间的完备性;压缩映像原理及其应用;线性赋范空间的概念，例子;Banach空间的概念。
考试内容：
第一节 度量空间的概念与例子
距离及度量空间的定义;例子(欧氏空间...等)。
第二节 度量空间中的极限 稠密性 可分空间
领域的概念;收敛点列;有界集;具体空间中收敛性的意义;稠密性与可分空间的概念;不可分空间的例子。
第三节 连续映射
映射连续性的各种定义及其等价性。
第四节 Cauchy点列与完备度量空间
度量空间中Cauchy点列的概念;完备度量空间的定义;完备度量空间与不完备度量空间的各类例子;度量空间闭子空间的完备性。
第五节 度量空间的完备化
等距同构;度量空间的完备化定理;
第六节 压缩映像原理及其应用
压缩映像的定义;压缩映像原理;在隐函数定理及常微分方程中的应用。
第七节 线性空间
本节内容为线性空间的基本概念。因学生已在高等代数课程中学过有限维空间的有关内容，故只需简要回顾并强调无限维线性空间的特征即可。
第八节 线性赋范空间和Banach空间
范数，线性赋范空间和Banach空间的概念;依范数收敛...空间;有限维赋范空间的拓扑同构性。
考核要求：
掌握度量空间，线性赋范空间和Banach空间的概念和性质;掌握映射连续性，度量空间的完备性等概念;熟悉...空间;透彻理解压缩映像原理及其简单应用。能独立解答基本的习题。
第二章 线性有界算子和线性连续泛函
考试要点：
线性有界算子，线性连续泛函，线性算子空间，共轭空间。
考试内容：
第一节 线性有界算子与线性连续泛函
线性有界算子与线性连续泛函的概念，例子，有界与连续的等价性，线性有界算子零空间的性质，算子范数。
第二节 线性算子空间和共轭空间
线性算子空间的结构及其完备性，共轭空间，保距算子，同构映照，同构，一些具体空间的共轭空间。
考核要求：
掌握线性有界算子，线性连续泛函，有界性，连续性，算子范数，共轭空间，保距算子，同构映照，同构等基本概念;掌握有界与连续的等价性定理，基本定理;能够计算简单的算子范数和一些具体空间的共轭空间。能独立解答基本的习题。
第三章 内积空间和Hilbert空间
考试要点：
内积空间，投影定理，Hilbert空间，就范直交系，Hilbert空间上线性连续泛函的表示。
考试内容：
第一节 内积空间的基本概念
内积空间与Hilbert空间的定义，平行四边形公式，内积空间的判定。
第二节 投影定理
点到集合的距离，凸集，极小化向量定理，集合的正交，Hilbert空间的正交分解，投影算子及其性质。
第三节 Hilbert空间中的就范直交系
就范直交系，Fourier系数集，Bessel不等式，Parseval恒等式，完全就范直交系的定义与判定, Fourier展式，Gram-Schmidt正交化过程，Hilbert空间的同构。
第四节 Hilbert空间上的线性连续泛函
