学科教学(数学)专业考试科目名称及代码：数学分析与高等代数880

数学分析与高等代数科目考试大纲

(1)科目及代码：数学分析与高等代数(科目代码：880)

(2)主要参考书目：

[1]华东师范大学数学系主编.《数学分析》(第五版上册)，高等教育出版社，2019.

[2]北京大学数学系前代数小组编.高等代数(第五版)，高等教育出版社，2019.

(3)本考试大纲适用于报考学科教学(数学)硕士研究生的入学考试。

(4)考试方式与试卷结构

考试方式：闭卷笔试。

本科目满分150分，每门课程约占75分，考试时间180分钟。

试题题型：计算题(约60分)、证明题(约60分)、解答题(约30分)。

(5)考试内容及基本要求

(一)数学分析部分：数列极限、函数极限、函数连续性、导数与微分、微分中值定理、不定积分、定积分、定积分的应用、反常积分。

1.函数的极限与连续

1)理解数列和函数极限的定义、性质，会求数列和函数的极限;

2)理解连续的定义，会判别间断点类型，理解闭区间上连续函数的性质;

3)理解初等函数在其定义区间上的连续性，掌握利用连续性求极限的方法。

2.导数

1)理解导数的定义与几何意义、可导与连续的关系;

2)会求函数的导数：复合函数求导、隐函数求导、参数方程所确定的函数的导数、对数求导法、分段函数的导数、高阶导数;

3)理解微分的定义、微分与导数的关系，会用定义判别可微性，会求一元函数的微分。

3.微分

1)理解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，并会用它们证明根的存在性和简单不等式;

2)会用洛必达法则求极限;

3)理解函数极值的概念，会求函数极值和最值;

4)理解函数的泰勒公式，掌握常见基本初等函数的泰勒公式;

5)会判别曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

4.不定积分

1)理解原函数和不定积分的概念、不定积分的性质、原函数存在性定理;

2)掌握不定积分基本公式、换元积分法、分部积分法，会求不定积分。

5.定积分

1)理解定积分的定义、性质和几何意义，了解可积的必要和充分条件;

2)掌握变上限积分的求导、牛顿莱布尼茨公式、定积分的换元和分部积分法，会求定积分;

3)掌握定积分在几何中的应用，会求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。

6.反常积分

1)理解广义积分的概念、性质和几何意义;

2)会判别广义积分收敛性。

(二)高等代数部分：多项式、行列式和线性方程组、矩阵及其标准形、二次型、特征值和特征向量、线性变换、欧氏空间。

1.多项式

1)理解并掌握一元多项式的概念和性质，掌握整除的概念和性质，掌握带余除法理论，会用辗转相除法求两个多项式的最大公因式，会证明有关互素的一些命题;

2)掌握因式分解定理，会判断多项式有无重因式，掌握余数定理，会判断多项式有无重根，掌握复系数、实数多项式及有理系数多项式的因式分解理论;

3)理解并掌握根与系数关系，掌握关于有理系数多项式的理论，会求有理系数多项式的有理根，会判断多项式在有理数域上是否可约。

2.行列式

1)掌握行列式的定义和基本性质，会计算高阶规律性强的行列式，掌握范德蒙德(Vandermonde)行列式，并且能运用行列式理论解决相关问题;

2)掌握行列式的按行(按列)展开定理，会应用克拉默(Cramer)法则解决线性方程组的相关问题。

3.矩阵

1)理解矩阵的基本概念及其性质，掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及这些运算的规律;

2)掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件，掌握伴随矩阵的概念与性质，理解矩阵的初等变换及矩阵等价的概念，会求矩阵的秩及逆矩阵;

3)理解分块矩阵，掌握分块矩阵的运算及初等变换。

4.线性方程组求解

1)理解向量线性相关、向量组等价、极大无关组、向量组的秩、矩阵的秩、基础解系、解空间等概念,会证明有关线性相关或线性无关的命题;

2)掌握线性方程组解的理论，会求解线性方程组。

5.二次型

1)掌握二次型的概念及二次型的矩阵表示、二次型秩的概念、二次型的标准形、规范形及惯性定律，会用合同变换、正交变换化二次型为标准形;

2) 掌握二次型和对应矩阵的正定、半正定、负定、半负定及其判别法，会判断二次型和对应矩阵的正定性。

6.线性空间

1)理解线性空间、子空间、生成子空间、基、维数、坐标、过渡矩阵、子空间的直和、线性空间同构等概念，会证明有关子空间的直和的命题;

2)掌握基扩张定理、维数公式，会求基、维数、坐标及过渡矩阵。

7.线性变换

1)理解线性变换、特征多项式、特征子空间、不变子空间、相似变换、相似矩阵等概念;

2)掌握线性变换的性质，特征值、特征向量的性质，核空间与值域的性质，会求给定矩阵的特征值、特征向量;

3)掌握线性变换与矩阵“互化”的思想方法。

8.欧氏空间

1)掌握内积、欧氏空间、向量长度、夹角、距离、度量矩阵、标准正交基、正交变换、正交矩阵等概念;

2)掌握标准正交基的性质、正交变换的性质，会用施密特(Schmidt)正交化方法化线性无关向量组为标准正交向量组;

3)掌握实对称矩阵的特征值、特征向量的性质，会用正交相似变换将实对称矩阵相似(合同)对角化